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recurrence relation of 2nd-order

The following is a purely computational; including a process of converting a generating function to its formal power series relations. This can be also seen as an example of recurrence relation at the 2nd-order with indices coefficient.

Observe a case of e(t)=\sum \frac{a_n}{n!}t^n=(\frac{1+t}{1-t})^{80}
To determine the a_n, notice that the k-derivative has a form

    \[\displaystyle{ e^{(k)}(t) = 160k!\frac{f^{80-k}}{(1-t)^{2k}}g_k(t) }\]

where f=(1+t)/(1-t) and g_k(t) is a monic polynomial of degree (k-1) with g_0=160^{-1}.

By a calculation, one can see a_{k+1} has an inductive formula


And g_k has

    \[(k+1)g_{k+1}(t)= 2(tk+80)g_k(t)+(1-t^2)g_k'\]

Combining these formula, we have

    \[\displaystyle{ 160 g_k(0) = \frac{a_k}{k!} }\]

First few g_k(t) and a_k are as follows.

    \[\begin{center} \begin{tabular}{ l | l | l }  \hline    k $\backslash$ * & $g_k(t)$ & $a_k$ \\ \hline    0 & $160^{-1}$ & 1 \\ \hline    1 & 1 & 160 \\ \hline    2 & t+80 & 160\cdot 2!\cdot 80 \\ \hline    3 & t^2+160t+4267 & 160\cdot 3!\cdot 4267 \\ \hline    4 & t^3+240t^2+12801t+170720 & 160\cdot 4!\cdot  170720 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\]

By close look at the first-order term of g_k, g'_{k+1}(0)=kg_k(0) holds. Thus there we have recurrence relation determined solely by means of a_k itself

    \[\begin{array}{lcl} a_{k+1}&=&160k!(\frac{a_k}{k!}+\frac{k-1}{160}\frac{a_{k-1}}{(k-1)!}) \\ &=& 160a_k+k(k-1)a_{k-1} \end{array}\]

    \[\frac{d^n}{dt^n}\big[(1-t)^{-k}(1+(1-k)t)\big]=\begin{cases} -\frac{1}{(1-t)^{k+1}} \big\{ -1+(1-k)^2t \big\} & n=1 \\ -\frac{k}{(1-t)^{k+2}} \big\{ k-3+(1-k)^2t \big\} & n=2 \\ -\frac{k(k+1)}{(1-t)^{k+3}} \big\{ 2k-5+(1-k)^2t \big\} & n=3  \end{cases}\]

Grothendieck Group

To give a functor from a category of commutative monoid to the category of abelian group, namely,

    \[Gr: CMon\to Ab\]

let us construct the abelian group for given M\in CMon, define Gr(M):=(M\times M)/\sim with equivalent relation of

    \[(x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow \exists k\in M\ s.t.\ x+y'+k=x'+y+k\]

and universal property characterized by the following commutative diagram (for given and constructed monoid homomorphism i_M and for any monoid homomorphism f, there uniquely exists abelian homomorphism Gr(M)\to N that commutes the diagram).

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By this construction, there’s the identity element [0,0]\in Gr(M) and for each element [x,y]\in Gr(M) we have unique inverse [y,x] and exposes other functorial properties.

To confirm all those properties are valid on this construction, we begin with checking the compatibility of additive operation in the Cartesian product of commutative monoid M\times M and in that of Gr(M), namely,

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Here q is the quotient map. To verify this, we just show the equation [m_1,m_2]+[n_1,n_2]=[m_1+n_1,m_2+n_2] for any m_j,n_j\in M (j=1,2) is valid.

Let (u_1,u_2),\ (v_1,v_2), (w_1,w_2) represent [m_1,m_2],[n_1,n_2],[m_1+n_1,m_2+n_2] respectively. Then the equation above reduces to the equation

    \[\exists k\in M,\ s.t.\ u_1+v_1+w_2+k=u_2+v_2+w_1+k \qued \cdots \qued (*)\]

Let l_1,l_2,l_3 be corresponding elements of M to w_1, u_1, v_1 in such a way that:

w_1+m_2+n_2+l_1 = w_2+m_1+n_1+l_1, u_1+m_2+l_2=u_2+m_1+l_2 and v_1+n_2+l_3=v_2+n_1+l_3. Set l=l_1+l_2+l_3 and k=m_1+n_1+l, then we have the equation (*) ■

With this compatibility, we can immediately verify [m_1,m_2]+[m_2,m_1]=[0,0].

Now define i_M: M\to Gr(M) by i_M(x)=[x,0]. We will now verify the following proposition.

Prop. i=i_M is injective if and only if M has cancellative property, i.e.

    \[\forall a\in M,\forall (x,y)\in M\times M,(a+x,a+y)\in\Delta\Leftrightarrow (x,y)\in\Delta\]

Suppose M is cancellative, then assuming [a,0]=[a',0] is equivalent condition to a=a'. Conversely when i_M is injective, then if there exists a non-cancellative element l\in M for a,a', i.e. a+l=a'+l but a\neq a'. i_M being injective can be restated by \exists k\in A,a+k=a'+k\Leftrightarrow a=a', obviously contradict ■

Next let’s show another important property that the Grothendieck construction is idempotent on an abelian group, to be precise, restate in a form of proposition as following.

Prop. A\in Ab\Leftrightarrow A\overset{i_A}{\to} Gr(A) is bijective
(\Leftarrow) \forall [x,y]\in Gr(A),\exists a\in A,[x,y]=[a,0]. Then \exists k\in A s.t. x+k=y+a+k. k can be canceled and we have x=y+a. Put x=0, then a is the inverse of y.
(\Rightarrow) Let (u,v) represents [x,y]\in Gr(A). We have x+v+k=y+u+k (\exists k\in A). By canceling k, we have x=y+u-v, which indicates [x,y]=[u-v,0]

Another construction:

We cannot avoid another construction of the Grothendieck group by means of completion of group, because not only of the historical importance, but we can also need this for ring construction for the basis of K-theory.

For given M\in CMon, denote the free abelian group F(M) generated by the elements of M as the free basis, in which the element is denoted by [m] for m\in M. Let R(M) be the subgroup of F(M) generated by an element of the form [m+n]-[m]-[n]. We define the quotient group Gr'(M)=F(M)/R(M).
Our claim is Gr(M)\cong Gr'(M).

This isomorphism (and the universal property from the former construction) is verified by proving following proposition.

Prop. The properties of free generator constructed Grothendieck group Gr'(M).
(a) Gr'(M) is composed of a form of element [m]-[n].
(b) For m,n\in M, [m]=[n]\in Gr'(M)\Leftrightarrow m+p=n+p\ (\exists p\in M)

(a) By expressing the element [m]\in Gr'(M) as the finite sum [m]=\sum [m_j], we can immediately get the equation

    \[[m]=[\sum m_j]\]

And then adding up the differences of generators compose the given form.

(b) When there exists p\in M s.t. m+p=n+p, this is obvious by the cancellation of [p]. Conversely if [m]-[n]=0, then

    \[\begin{array}{lcl} [m]-[n] &=& \sum ([a_i+b_i]-[a_i]-[b_i]) - \sum ([c_i+d_i]-[c_i]-[d_i]) \\ \therefore && [m] + \sum([a_i]+[b_i]) + \sum[c_i+d_i]= [n] + \sum [a_i+b_i] + \sum ([c_i]+[d_i]) \end{array}\]

Observing the number of generators of free abelian group of the form \sum ([a_i]+[b_i]) and \sum [a_i+b_i], we conclude that we can remove brackets and obtain the results ■

Now consider the following commutative diagram:

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Here f:M\to Gr'(M) is defined by f(m)=[m], and h:Gr(M)\to Gr'(M) is defined by h[m,n]=[m]-[n].
With the previous proposition, we can see h is surjective by (a) and injective by (b), then we have Gr(M)\cong Gr'(M).

Finally, we’ll view Gr:CMon\to Ab as a functor. Let A,B be elements of CMon. For id:A\to A, Gr(id) is induced identity in Gr(A) because of the uniqueness property:

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Also the composite property is verified with the uniqueness property by replacing the map and range and extending the diagram above.


Gluing Lemma:

連続関数族\{f_j\}_{j\in I}:A_j\to Yが与えられているとする. このとき,

(A) 与えられた(連続とは限らない)関数f:\cup A_j\to Yf|_{A_j}=f_jを満たすなら, fは連続である.
(B) 各i,j\in Iについて, f_i|_{A_i\cap A_j}=f_j|_{A_i\cap A_j}を満たすなら, 連続関数f:\cup A_j\to Yf|_{A_j}=f_jを満たすものが唯一つ存在する.

という二つの性質を考えたい. \{A_j\}が開集合族であるか, \{A_j\}が閉集合族であってIが有限であれば性質(A), (B)は同時に満たされる. (A)が満たされる場合を特にgluing lemmaという. 興味は性質(A)と(B)に違いがあるかということだ.


実際のところ, (A)では関数f:\cup A_j\to Yf|_{A_j}=f_jを満たすものの存在を仮定している. これは(B)の仮定を成立させる(さもなくば, 与えられた関数fがある点x\in A_i\cap A_jで多価になることを許すが, これは関数の定義に反する). 従って(A)から直ちに(B)が従う. 逆に(B)を仮定すると, (A)の仮定の性質をもつ連続関数fが構成できる. fと(B)で構成した連続関数gは異なるかもしれないが, ff_i|_{A_i\cap A_j}=f_j|_{A_i\cap A_j}を満たし, かつこれは一意性を言ってるので, f=gが分かる. 結局これらの性質は同値になる.

次の命題はそのような結果の一つで, 元々評価関数X\times C(X,Y)\to Y; (x,f)\mapsto f(x)が連続になる(=C(X,Y)のCompact-Open topologyがadmissible)ために, Xに幾つかの位相的な性質(例えばある種の有限性)を課す必要が分かっていて, 特にハウスドルフ・コンパクトの場合は都合が良いのでその場合に帰着できることを保証するものである.


A: top. sp., C\subset C(A)を連続関数A\to Aの成す集合, A*をAの一点コンパクト化とする.
このとき, C with g-topology and C* with k-topology are homeomorphic.

Pf. Denote A and A* for corresponding base spaces, where A* is the compactification of A and \phi:C\to C* maps f\in C to the unique map f^*\in C* defined by f^*|_A=f and f^*(I)=I. f^* is continuous since for any open set U*\subset A* containing I, the inverse image of f^* is by definition U+I where + denotes the disjoint sum as a set and U\subset A is an open set in A whose complement is compact in A, which is again open in A*.

\phi is homeomorphism is rather trivial since f^* restricts to A coincide f and thus for any subbase element of g-topology in C, namely W(K, U)\subset (C,g) (where K\subset A is closed and U\subset A is open and either K or U^c is compact), \phi maps to an element of k-open subbase W'(K*, U*), where K*=K is compact in A* because A* is compact and K* is closed ■

Aがlocally compact Hausdorffなら, C(A)のk-topology (Compact Open topology)はadmissibleで, 特にこの構成によって存在が示されたものはadmissible topologyの中で最も粗い(R.F.Arens). Yがlocally compact Hausdorffであるときexponential lawによる以下の関数の間の一対一対応

X^{Y\times Z}\to (X^Y)^Z; (y,z)\mapsto f(y,z)\leftrightarrow (z\mapsto f(*,z)\mapsto f(y,z))

により, f:Y\times Z\to Xが連続⇔\theta:Z\to X^Y; \theta(z)=f(*,z)が連続

が分かる. ここでUをR^nのopen ball, X=Y=\overline{U},\ Z=Uとすると, Yはlocally compactであるからX^Yがadmissible k-topologyを持つ. X^Y=C(Y,X)のsubspace topologyによりhomeo(Y,X)=homeo(Y)の部分集合

    \[G:=\{f\in homeo(Y) : f|_{\partial \overline{U}}=id \}\]

を位相空間と見ると, Ghomeo(Y)のstrongly stable subgroupである. strongly stable homeomorphismはid_{\overline{U}}にisotopic(J. W. Alexander, 1923)で, Zと共にGがpath connectedであることにより,

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が可換になる. ここでpはZのsmooth path, \hat{p}はGにおけるpathで, Gの元とid_{\overline{Y}}とのisotopyをパラメータt\in [0,1]の関数と見たものである. \phi:Z\to Gz\mapsto \theta_z\in Gで定義され, 特に\theta_z(z)=z_0 (z_0はUのfixed point)を満たすもの(もちろんZ\to Gは全く一意的ではないので構成する必要がある. これについてはFadellの本等を参照のこと).

故に\phiは連続である. すなわち(z,y)\mapsto \theta_z(y)は連続(実はこのpath-connectednessを使わなくとも\phiの連続性は言える).

VM Ware Playerでの設定

まず最初にVM Wareで色々なことをやろうとする前に、PlayerとTools両方を最新のものにアップグレードする。

以下debian 12(.5.2) がゲスト, windows 8がホストの場合の設定。


isolation.tools.copy.disable = "FALSE"
isolation.tools.paste.disable = "FALSE"


$ vmware-hgfsclient
<shared dir name>


sudo apt-get install open-vm-tools open-vm-tools-dkms open-vm-tools-desktop


sudo mount -t fuse.vmhgfs-fuse -o allow_other .host:/<share dir> <mount point>


.host:/<share dir> <mount point> fuse.vmhgfs-fuse allow_other 0 0

H space (spanier)

Introducing H space along with the Spanier’s text Algebraic Topology.
The proof in the article is basically same in the book, except that I put somewhat more detail.

covariant functor \pi_X
For any given category C, and object X\in C, we always have a covariant functor \pi_X:C\to {\bf Set} defined by \pi_X(Y)=hom(X,Y) for an object of set. And for any morphism of C, let f\in hom(Y,Z) for any Y,Z\in Ob(C), then the morphism function is defined by f_*(\lambda)=f\circ \lambda for any element \lambda\in hom(X,Y) (f_*=\pi_X(f):\pi_X(Y)\to \pi_X(Z)).

We can check the identity law: \pi_x(id_Y)(\lambda)=(id_Y)_*(\lambda)=\lambda, \forall \lambda\in \pi_X(Y), and the composite law:

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initial object

For given category C, X the object of C, is called initial object if for any object Y, hom(X,Y) consists of only one element of morphism in C. We can characterize the initial object of a category C with the functor \pi_X as:

    \[X:\ initial\ object\ of\ C\Leftrightarrow\ {\rm Im}\pi_X \text{is equivalent to a discrete subcategory of}\ {\bf Set}.\]

Discrete subcategory of {\bf Set} is always regarded as a family of sets (because the morphisms are only the identity of those objects). Thus the equivalence between category in this sense does not indicate they are same; rather, this is because we can instantly observe that there is 1 to 1 correspondence \pi_X(Y)\leftrightarrow Y if X is initial object in C.

construction of the category of directed system

\Lambda is directed set. \{Y^\alpha,f_\alpha^\beta\}_\Lambda is directed system (i.e. the sequence of morphisms and objects which satisfy the following conditions).

(1) f_\alpha^\alpha=id_{Y^\alpha}
(2) f_\alpha^\gamma=f_\beta^\gamma f_\alpha^\beta for all \alpha\leq \beta\leq \gamma

The object of the category is again a sequence of morphisms \{g_\alpha : Y^\alpha \to Z\}_\lambda \in Ob(C) s.t.
the diagram

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commutes. Note that the range Z is fixed. And for morphism of the category, h\in hom(\{g_\alpha : Y^\alpha \to Z\}_\lambda,\{g'_\alpha : Y^\alpha \to Z'\}_\lambda) is a map h:Z\to Z' s.t.

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commutes. The initial object of the category C, called direct limit of the direct system \{Y^\alpha,f_\alpha^\beta\}_\Lambda. We can construct the category of inv\{Y^\alpha,f_\alpha^\beta\}_\Lambda and the inverse limit of the inverse system, in a similar manner.

category of pointed topological space

We denote {\bf hTop^*} as the homotopy category of pointed topological space. The objects are pointed spaces denoted by (X,x_0)(the base point is determined uniquely for each topological space). The morphisms are homotopy classes of base point preserving continuous maps between pointed topological spaces. Shortly we denote [X;P] in place of hom((X,x_0),(P,p_0)) (the composition law for the morphisms is confirmed based on the known fact that

“the composition of homotopic maps rel A,\ B are homotopic rel A if f_1(A)\subset B (f_1,f_2:(X,A)\to (Y,B) are homotopic maps)”.

Thus the composition can uniquely determined independent to the choice of the representation from the homotopy class).

When a topological group P is given, \pi^P defines a contravariant functor

    \[\pi^P : {\bf hTop}^*\to {\bf Grp}\]

Admitting the above fact without proof(c.f. Spanier pp.34), we rather want to obtain a functor without assuming that P is a group.

To do this, we shall assume that P is a pointed space, and consider the situation where [X;P] has group structure but not the set of basepoint-preserving continuous maps from X to P.

Let P’ is a topological group, F:P\to P' is an equivalence in {\bf hTop}^* (we don’t assume P is a group), and f\in [X;Y]. Then the diagram

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commutes and the vertical arrows are isomorphisms (in the category of group induced from topological group P’ by pointwise multiplication) and thus \pi^P and \pi^{P'} are naturally equivalent and the output of the group structure are unchanged when P\sim P' in homotopy. [X;P] becomes group with

    \[\lambda_1\lambda_2(x)=(F\circ\lambda_1)(x)(F\circ\lambda_2)(x),\ (F:P\simeq P',\ \lambda_1,\lambda_2\in [X;P])\]

condition of a functor \pi^P to have a range in {\bf Grp}

We have this result.

Theorem 5.

P: pointed space. Then P is an H group iff \pi^P is a contravariant functor

    \[\pi^P:{\bf hTop}^*\to {\bf Grp}\]

First we define some terminologies.

H space is a pointed topological space P together with a continuous multiplication

    \[\mu:P\times P\to P\]

for which the (unique) constant map c:P\to P is a homotopy identity (i.e. the composition maps

    \[P\overset{(c,1)}{\to} P\times P \overset{\mu}{\to} P,\ P\overset{(1,c)}{\to} P\times P \overset{\mu}{\to} P\]

are homotopic to 1_P.

homomorphism of H spaces P, P’ with multiplications \mu and \mu' is a continuous map \alpha:P\to P' s.t. following diagram :

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is homotopy commutative. This definition may sound instinctive when we regard the homomorphism of H spaces as continuous map compatible with the continuous multiplication of H spaces in {\bf hTop^*}.

We will prove the following theorem, and then the theorem 5 follows immediately.

For the reason that the techniques used in the proof seems somewhat common when it comes to put an algebraic-like structure to a topological object, which repeatedly appears in the further discussion, we give a detailed proof.

Theorem 4.

A pointed space having the same homotopy type as an H space (or an H group) is itself an H space (or H group) in such a way that the homotopy equivalence is a homomorphism.

pf. Let f:P\to P' and g:P'\to P be homotopy inverses and let P be an H space with multiplication \mu:P\times P\to P. Define \mu':P'\times P'\to P' to be the composite

    \[P'\times P'\overset{g\times g}{\to} P\times P\overset{\mu}{\to} P \overset{f}{\to} P'\]

\mu' is a continuous multiplication in P' and the composite

    \[P'\overset{(1,c')}{\to} P'\times P' \overset{\mu'}{\to}P'\]

equals the composite

    \[P'\overset{g}{\to} P \overset{(1,c)}{\to} P\times P \overset{\mu}{\to} P\overset{f}{\to} P'\]

, which is homotopic to the composite P'\overset{g}{\to} P \overset{f}{\to} P'. Because fg\simeq 1_{P'}, the map \mu'\circ (1,c') is homotopic to 1_{P'}. Similarly, the map \mu'\circ (c',1) is homotopic to 1_{P'}. Therefore P’ is an H space (we checked c' is the homotopy identity right now). Because the square

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is homotopy commutative (just compose f\times f from the right of \mu'), g is a homomorphism (by definition), and so is f (since \mu'\circ (f\times f)=f\circ\mu\circ (g\times g\circ f\times f) \sim f\circ \mu, the vertical arrow can be reversed). If \mu is homotopy associative or homotopy abelian, so is \mu', and if \phi:P\to P is a homotopy inverse for P, then f\phi g:P'\to P' is a homotopy inverse for P’.

We prove the last statement.

1. \mu' is associative (when \mu is)

Consider the following diagram.

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Then we can obtain

    \[\mu'\circ (\mu'\times 1)\sim f\circ (\mu\circ (1\times \mu))\circ g^3 \sim \mu' \circ (1\times \mu')\]

from the diagram (*1). The last homotopy equivalence can be attained with another diagram replacing \mu\times 1 with 1\times \mu, respectively.

2. \mu' is homotopy abelian (when \mu is)

In the similar manner above, consider the following diagram.

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The composition of the bottom arrows, \mu\circ T is homotopic to \mu. So we get

    \[\mu'\circ T\sim f\circ \mu\circ (g\times g)=\mu'\]

3. f\phi g:P'\to P' is a homotopy inverse for P’ (if \phi:P\to P is for P)

Again, consider the following diagram.

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I’m actually unclear about the existence of \phi' (I mean, as a non-trivial map naturally induced by the given homotopy inverse \phi), but if it exists, then it must commutes on the left side of diagram and it must agree with f\phi g.

Given an H space P, for any pointed space X there is a law of composition in [X;P] defined by

    \[[g_1][g_2]=[\mu\circ (g_1,g_2)]\]

The resultant of the multiplication is a homotopy class of continuous map

    \[x\mapsto g_1(x)g_2(x)\]

and this is well-defined (again [X;P] is a set of morphisms in {\bf hTop}^*!)

If P is a H group, then for [g]\in [X;P], the inverse is [\phi\circ g]. Since g(x)\in P for any x\in X,
[g][\phi\circ g]=[\mu\circ (g,\phi\circ g)]=c.

Therefore, we have the theorem 5 (partially, but not discussing here although reverse is also true).



まずモジュライ(空間)というのは, 平易に言うならば「ある性質」を持つ図形をその性質を持つ図形全体の中で「点」として捉えることで、「ある性質」を持つ図形で異なる種類のものがどれだけあるのか、異なる種類の図形の差はどのような性質で特徴付けられているか、といったことを調べるための道具だと言える。



m, nは斜辺の長さで、θ、φは角度、hは上の頂点から角を(θ,Φ)に分ける底辺への線分の長さとし、a, bはそれぞれhの足からの底辺の左側、右側の長さとする。







よく知られているように二等辺三角形(m=n)の場合, この条件はh=mcosθのことであり、このとき縦線と底辺が直角に交わることを表す(二等辺三角形の場合は例外的に上の条件が自動的に成り立つが一般にはそうではない。例えば(m,n,θ)=(1,2,π/6)のとき, h=2/\sqrt{3}のとき, そのときに限りn/m=b/aが成り立つ)。





    \[R_{>0}\times (0,\pi/2)\ni (n/m,\theta)\mapsto \Delta (m,n,\theta)\in \Omega(\Delta)\]

なる1:1対応が存在し(\Omega(\Delta)は(m,n,θ)が任意に動く時に条件を満たすような相似を同一視した三角形の集合), 「性質を満たす三角形を相似で同一視したもの全体は、正の実数と開区間との直積で表される」と言い換えることができる(この写像は正実数の比n/mを第一パラメータとして取っているが、m=1としてnを動かしても元のm,nで表された写像の全ての像を尽くす。そしてこのときΔのパラメータのmは不要であるが、混乱を避けるためにあえてこのようにした)。


local compactness

* Q is not locally compact, since for any positive irrational number ε, I(ε)=[-ε,ε] is not compact in Q.
Remember open set U in Q is a form U=V⋂Q where V⊆R is open subset. Thus any increasing open covering of I(ε), finitely many open subset of Q can NOT cover I(ε).

This concludes that the intersection of locally compact subspaces are not necessarily locally compact (this conclusion is based on the study of an introduced topological space explained in the link).

* In locally compact space X, the subset A is closed if and only if the intersections with all compact subset is compact. This can be proved as follows. Let K be an arbitrary compact subset of X, then (because of hausdorff X) K is closed and A as well by assumption. Then A⋂K is closed and again is compact. Reversely if A is open subset, then complement of A, denoted c(A) is closed. Fix a point x in the boundary of c(A), because X is locally compact, there is a compact neighbor of x, say K∋x. By definition of neighbor, K⋂A≠∅ and K⋂c(A)≠∅. Because K⋂c(A) is closed, K⋂A is open in K. Thus K⋂A cannot be closed in X, and therefore K⋂A cannot be compact (for any subset B⊆X, B can be closed in X necessarily when intersection with arbitrary closed subset A⊆X is closed due to the basic property that any closed subset is closed with operation of taking an intersection).







(i) 整閉
(ii) 準素イデアルが素イデアルの積で表される
(iii) すべての商体でない局所環はDVR

prob.9.1. Aをデデキント整域とし, SをAの積閉集合とする. このときS^{-1}Aはデデキント整域かAの商体である.
proof.9.1. Aがデデキント整域なら, Aは次元1のネータ整域であって整閉であるので, S^{-1}Aはネータ整域で整閉である. 零でないAの素イデアルp(仮定よりこれは極大)でSと交わらないものは, S^{-1}Aの素イデアルと一体一に対応する. 従ってその素イデアルS^{-1}pS^{-1}Aにおける極大イデアルである. よって{\rm dim}S^{-1}A=1. p=0ならこれは商体と一致する.

全ての商体でない局所環はDVRである. DVRはもちろんデデキント(局所)整域であるから, S=S_p=A-p\ (p\in {\rm Spec}(A)\backslash \{0\})の場合は正しい.

prob.9.1.2 Aをデデキント整域とし, S\neq A-\{0\}, H, H’をそれぞれA,S^{-1}Aのイデアル類群とする. イデアルの拡大は全準同型H\rightarrow H'を引き起こす.

proof.9.1.2 IをAのイデアル群, Pを単項分数イデアルの成す部分イデアル群, Hをイデアル類群, I',P',H'を対応するS^{-1}Aの群とする. JをSと交わりを持つ素イデアルで生成されるIの自由部分アーベル群とする.
イデアルの拡大はイデアル群の間の写像I\rightarrow I'を定義し, これは(S^{-1}(I_1I_2)=(S^{-1}I_1)(S^{-1}I_2)だから)準同型になる. イデアル群の単位元はデデキント整域自身であるから, S^{-1}I=S^{-1}A=1_{I'}\Leftrightarrow I\cap S\neq \emptysetにより, J\rightarrow I'は零写像になる. デデキント整域において任意のイデアルが一意的に素イデアルの積にかけるから, I/J\cong I'である.

J\subset Pを示す.
J=\sum_i^n p_i/s_i\ (s_i\in S,\ p_i\in {\rm Spec}(A)\ p_i\cap S\neq \emptyset)と書けるが, t=\prod_i s_i,\ \alpha=\sum p_iとおくと,


Aをデデキント整域, f\in A[x]を多項式とする. f=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^nのとき, c(f)=(a_0,\ldots,a_n)はAのイデアルでc(fg)=c(f)c(g)が成り立つ.

一般にc(fg)\subset c(f)c(g)は言える. なぜなら\sum_{i,j}(a_ib_j)\subset\sum_i(a_i)\sum_j(b_j)が成り立つからである.
逆を言うために剰余環のイデアルとしてc(f)c(g)/c(fg)=0が成り立てば良い. これは局所的性質であるから, 任意の極大イデアルmに対し, c(f)_mc(g)_m/c(fg)_m=0を言えば良い.

任意の零でない素イデアルpは極大で, 局所化すると離散付値環A_pが得られるが, これは全ての非零イデアルが極大イデアルpの冪で表されるようなPIDである. p=(\omega)_{A_p}\ (\omega\in A_p)となるものがあるので, 局所環上でのcontentsをc_p(f_p)=(a_0,\ldots,a_n)_{A_p}\ (a_j\in A_p,\ f_p\in A_p[x])と定義すると, これは単項イデアルであるからc_p(f_p)=(\omega^k)なるkがある. 以降DVRにおけるイデアルが(\omega^m)で表されるとき, その次数mを\deg(I)と書くことにする.

c_p(g_p)=(\omega^l)に対し, c_p(f_p)c_p(g_p)=(\omega^{k+l}).


となるmはm=\min\{\deg(a_i)\} + \min\{\deg(b_i)\}=m_1+m_2と表される. m_1,m_2に対応してそれぞれc_p(f_p),c_p(g_p)が定まり, またm=m_1+m_2に対応してc_p(f_pg_p)が定まる. 最小値一意性により, c_p(fg)=c_p(f)c_p(g)


lemma.10.0 Gの対角線集合が閉集合であることは, Gがハウスドルフ空間であることの必要十分条件である.
pf.10.0 対角線集合をD=\{(x,y)\in G\times G|x=y\}とおく. G\times G-Dは開集合だから, (x,y)\in G\times G-Dの開近傍(x,y)\in U_1\times U_2がある. (x,y)の取り方からx\neq y\ (\forall x\in U_1,\ y\in U_2). つまりU_i\ (i=1,2)はGの相異なる元x, yを分離する開集合を与える■


lemma.10.1 HをGにおける0の全ての近傍の共通集合とする. このとき次が成立する.

  1. Hは部分群
  2. Hは\{0\}の閉包
  3. G/Hはハウスドルフ空間
  4. Gはハウスドルフ空間⇔H=0

(1) 0の任意の近傍Uに対し, a+Uはaの近傍を定義する. 逆にaの近傍はこの形のものに限る(平行移動T_a(x)=x+aは同相G\cong Gを定義する). 故にx,y\in Hなら任意のO,O'\in V(0)に対しx,y\in O,O'だから, x+y\in T_x(O)\cap T_y(O')\subset H(xの近傍全部の共通部は0の共通部に含まれる. yも同様である). 同様の記号で, 同相x\mapsto -xによってO\cong -Oが定義される. この写像で0は動かないから, x\in H\subset Oなる0の開近傍Oに対し, -O\ni -xはOと同相な0の開近傍である. O\in V(0)は任意だから, -x\in H


    \[\begin{array}{lcl} x\in \overline{\{0\}} &\Leftrightarrow& U_x^\circ\cap \{0\}\neq \emptyset\ (\forall U_x\in V(x)) \\ &\Leftrightarrow& 0\in U_x^\circ \ (\forall U_x\in V(x)) \\ &\Leftrightarrow& V(x)\subseteq V(0) \\ &\Leftrightarrow& x\in \bigcap V(x)\subseteq H \end{array}\]

(3) Hの剰余類g+Hは, 平行移動(同相)T_g:G\rightarrow GによるHの像であり, これはHが閉であるから閉である. 故にG/Hの任意の点は閉集合で, 一点集合が閉である位相群はハウスドルフである.

(4) H=0ならG/H=Gがハウスドルフとなる. 逆にGがハウスドルフならx\neq yについてx, yを分離する近傍U_x,\ U_yがあるので, 対角線集合D\subseteq G\times Gを除いたG\times G-Dの各点はこのような近傍で覆われる. 従って開集合. 故に対角線集合は閉集合. 故に一点集合は閉集合. つまり\{0\}=\overline{\{0\}}=H

以下可換位相群Gは, 0に可算近傍系を持つとする(これは可算基本近傍系を持つ第一可算公理よりも強い条件).

コーシー列の同値類は\widehat{G}と書き, コーシー列の和がまたコーシー列になるためには, 任意のU\in V(0)に対し, x\in Uならx+U\subseteq Uが必要十分である. 実際\{x_\nu\},\ \{y_\nu\}をコーシー列とすると, 任意のU\in V(0)に対し整数s(U)が存在し, \nu,\mu\geq s(U)ならx_\nu-x_\mu,\ y_\nu-y_\mu\in Uである. そこでx_\nu-x_\mu+U\subseteq Uであればx_\nu+y_\nuの差がUに入る. x+Uはxのある近傍を定義するので, x+U\subseteq UV(x)\subset V(0). 上の(2)により, これはH=0, つまりGがハウスドルフであることを要求する.

二つの可換な位相群G, Hと連続な準同型f:G\rightarrow Hが与えられたとき, Gのコーシー列\{x_\nu\}はfによってHのコーシー列に写る. 実際U'\in V_H(0)を任意にとったとき, f^{-1}(U')=U\in V_0(0)(fは連続で, 準同型)となるUがある. s(U)\in Zが存在し, \nu,\mu\geq s(U)ならx_\nu-x_\mu\in Uとなるから, f(x_\nu)-f(x_\mu)\in f\circ f^{-1}(U')\subseteq U'\in V_H(0)となる. よってfは連続な準同型\widehat{f}:\widehat{G}\rightarrow \widehat{H}を誘導する.


G\overset{f}{\rightarrow}H\overset{g}{\rightarrow}Kなら, \widehat{g\circ f}=\widehat{g}\circ \widehat{f}

群の列\{A_n\}と準同型\theta_{n+1}:A_{n+1}\rightarrow A_nがあるとき, 直積群A=\prod A_nの写像をd^A:A\rightarrow Ad^A(a_n)=a_n-\theta_{n+1}a_{n+1}と定める(演算は加法的に書いているが, 可換である必要はない).


は準同型である(明らか). そこで{\rm ker}d^A\cong \displaystyle{\lim_\leftarrow} A_n. 3つの逆系\{A_n\},\{B_n\},\{C_n\}の完全列の可換な図式

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があれば, 準同型の列

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が誘導される. 実際直積群の準同型はf_n:A_n\rightarrow B_nに対し, f:A\rightarrow Bf(a)=(f_1(a_1),\ldots f_n(a_n),\ldots)と置くことで定義される. これに対応して準同型

    \[\pi\circ f: A\rightarrow B\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}B_n\cong B/{\rm Im}d^B\]


    \[\begin{array}{lcl} {\rm ker}(\pi\circ f) &=& f^{-1}({\rm ker}\pi) \\ &=& f^{-1}({\rm Im}d^B)\supseteq {\rm Im}d^A \end{array}\]

であれば普遍性によって剰余群の間の準同型が定まる. しかしこれは図式の可換性によって


が成り立つので正しい. \displaystyle{\lim_\leftarrow}B_n\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}C_n間の準同型も同様である.


    \[0\rightarrow \{A_n\}\rightarrow \{B_n\}\rightarrow \{C_n\}\rightarrow 0\]


    \[0\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}A_n\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}B_n\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}C_n\]

は完全列. さらに\{A_n\}が全射的な系ならば

    \[0\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}A_n\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}B_n\rightarrow \displaystyle{\lim_\leftarrow}C_n \rightarrow 0\]



prop.2.10 可換な完全列

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pf.2.10 a:A→Bをkerfに制限した写像はまた単準同型である. これをpとする. 同様にbをkergに制限した写像をqとする. p(kerf)⊆kerqはすぐに出る(∵(q∘p)(kerf)⊆(b∘a)(A)=0). 逆にy∈kerqならpは単射なので

    \[\begin{array}{lcl} 0&=&g(y) \\ &=&(g\circ p)(p^{-1}(y)) \\ &=& (p'\circ f)(p^{-1}(y)) \\ &\therefore& f(p^{-1}(y))=0 \\ &\therefore& p^{-1}(y)\in {\rm ker}f \\ &\therefore& y\in p({\rm ker}f) \\ &\therefore& {\rm ker}q\subseteq {\rm Im}p \end{array}\]


    \[d:{\rm ker}h\rightarrow {\rm coker}f\]

は, z\in {\rm ker}hに対し, bの全射性からz=b(y)となるy\in Bが存在する. 図式の可換性から0=(h\circ b)(y)=(b'\circ g)(y)となり, g(y)\in {\rm ker}b'={\rm Im}a'なのでa'(x)=g(y)となるx\in A'がある. xの{\rm Coker}fにおける像を[x]と書くと, z\mapsto [x]がdを定義し, これは準同型になる.

実際z=b(y)=b(y’)となるy,y'\in Bに対し, g(y)=g(y’)=a'(x)なるx\in A'が取れるので, zの取り方によって一意的に[x]が定まる. よってこれはwell-definedである. またz,z'\in {\rm ker}hなら, z=b(y),\ z'=b(y')となるy, y'\in Bがとれて, z+z'=b(y)+b(y')=b(y+y')となる. そこでg(y)=a'(x),\ g(y')=a'(x')なるx,\ x'\in A'に対し, g(y+y')=g(y)+g(y')=a'(x)+a'(x')=a'(x+x'). よって[x]+[x']=[x+x']により, これは準同型となる.


lemma.10.0 ハウスドルフ空間であるような位相群Gが離散位相を持つなら, 完備である.
pf.10.0 (a_n)をGのコーシー列, (b_n)(a_n)と同値なGのコーシー列とする. \forall U\in V(0)に対し, \exists s(U)\in Z\mu,\nu\geq s(U)\Rightarrow a_\nu-a_mu\in Uを満たす. 離散位相を持つため任意の部分集合, 特に一点集合として取ったUが開集合になるので, U=\{0\}として良い. このとき十分大きなμに対し, a_\mu=a_{\mu+1}となるが, μはUに対し定まる整数であるから有限. つまりGにおいて(a_n)と同値な任意のコーシー列(b_n)は, ある整数μが存在してa_\mu=b_\mu. これはGが完備であるということである■

aをAのイデアル, G=Aを加群としての環A, G_n=a^n, 0の基本近傍系を

    \[B(0)=\{G_n|n\geq 0\}\]

と定義する. このとき0の全近傍系はV(0)=\{V\supseteq B|B\in B(0),\ V\in S(G)\}で与えられる(S(G)はGの冪集合). 平行移動によって任意の0近傍Uはh近傍に写り, 逆にh近傍はT_h:U\mapsto h+Uの形で定まる. 従ってこのときGの開集合系は

    \[\mathfrak{D}=\{O\in S(G) | x\in O\Rightarrow O\in V(x)\}\cup \{\emptyset\}\]

で与えられる. 実際この方法で導入された集合系\mathfrak{D}は一意的に定まり, 確かに開集合系の公理を満たすことが分かる(松坂, p. 163). また積演算(x,y)\mapsto xyは連続になり, Gは位相環になる. なぜならxyの近傍xy+a^n\in V(xy)(x+b, y+c)\in V(x)\times V(y)となるb,c\in V(0)がある(少なくともa^n\subseteq b,cである. もしa^n\not\subseteq bならz\in a^n\backslash bがとれて,要素の積がxy+【0の近傍】となるものが, (x+【0の近傍】, y+【0の近傍】)の形のものに限ることに等しい).

整数環においてa=(6)とするとき, a^2=(36)=(9)(4)であるから, xy+a^2(x+(9),y+(4)),\ (x+a,y+a)どちらの積によっても作れる. a^2\subseteq (9),\ a^2\subseteq (4)だから, (9),(4)が0の基本近傍系\{a^n\}の元を含むので, 0の近傍となっている.


既約なイデアルとは, 環のイデアルa,b,cに対してa=b\cap c\Rightarrow a=b\vee a=cが成り立つイデアルaの事を言う. これは準素分解の文脈で使われ, ネータ環において全ての既約イデアルが準素イデアルであるという性質がある.

一方で既約な位相空間とは, 空でない位相空間で任意の空でない開集合がその位相空間で稠密であるものを言う.
また既約な位相空間は任意の空でない二つの開集合が交わりを持つとも言い換えられ, (補集合を取ることで)同等の言い換えとして, 台集合Xがどのような二つの真の閉部分集合の和にも分解されないとも言える(O\cap U\neq \emptyset \Leftrightarrow O^c\cup U^c \neq X\ (\forall O,U\in \mathfrak{D}(X))). またXに対してスペクトラムSpec(X)が位相空間として既約であることと, r(0) (冪零元根基) が素イデアルとなることとは同値である(Atiyah, ex. 1.19).

th.7.14. Hilbertの強零点定理 kを代数閉体, A=k[t_1,\ldots,t_n](有限生成k代数でも良い)として, a\subseteq Aをイデアルとする. Z(a)\subseteq k^nをaによって定義される多様体, I(Z(a))をその多様体を零点として持つAの元全体の成すイデアルとすると, I(Z(a))=r(a).

    \[r(a)=\displaystyle{\cap_{a\subset p\in {\rm Spec}(A)}p\subseteq \cap_{a\subset p\in {\rm mSpec}(A)}p}\]


kが代数的閉体だから, f^nのk上の根と

f^n\in a\ (\exists n\in N)とすればI(Z(a))\subseteq I(Z(r(a)))

Aの素イデアルは(Aがユークリッド整域であり, またそれ故にPIDでありかつUFDであることから)唯一つの既約多項式によって生成される.


    \[X\ni x\mapsto m_a\in {\rm mSpec}(C(X))\]


F, Gが群の系列で (\phi_i:F_i\rightarrow G_i)_iが系列の間の準同型の系列を表すとするとき, 次の条件を考える.

(1) F, Gは完全系列である
(2) \phi_{i+1},\ \phi_{i-1}が同型である

このとき, 次の条件(3), (4)の少なくともどちらかを満たすとき, \phi_iは同型である.

(3) F, Gは(一般に, 可換環A上の)加群である
(4) \phi_{i+2}が全射, \phi_{i-2}が単射である

証明は(3)の場合, 蛇の補題(0→ker→ker→ker→coker→coker→coker→0なる完全列の存在)の系として出る. (4)の場合はFive Lemmaの帰結である■